\documentclass[10pt,a4paper]{article}
%%% taille 10 points et format de papier A4
%%% classe article

%%% Codage en unicode
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc} 

\usepackage{multicol,multirow}%%%         multicolonnes multilignes
\usepackage[normalem]{ulem}%%%   pour texte barré \sout{}
\usepackage[french]{babel}%%%    écriture en français
\DecimalMathComma%%%             évite l'espace après la virgule en mode math
%\usepackage{multido}%%%          pour faire des boucles
\usepackage{pst-all,pst-eucl,pst-func}%%% PsTricks etc
\usepackage{stmaryrd} %pour crochets doubles
\usepackage{pst-bezier}
\usepackage{graphicx}%%%         pour graphiques et couleurs	
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}%%% outils AMS
\usepackage{mathrsfs}%%%         police script \mathscr{}
\usepackage{tabularx}%%%         tableaux
\usepackage{fancybox}%%%         divers boîtes
\usepackage{lscape}%%%           mode paysage
\usepackage[np]{numprint}%%%     pour formater les nombres de plus de 3 chiffres
\usepackage{colortbl}%%%         pour griser des cases dans un tableau
\usepackage{makeidx}%%%          pour créer un index
\makeindex%%%                    indispensable après l'appel du package makeidx
\usepackage{lettrine}%%%         pour créer des lettrines
\usepackage{eurosym}%%%          sigle euro
\usepackage{xcolor}
\usepackage{upgreek}%%% pour lettres greques en romain comme $\upbeta$


%\usepackage{bez123}%%%     courbes de Bézier

\usepackage{vmargin}%%%          réglage des marges
\setmarginsrb{3cm}{2cm}{3cm}{2cm}{1cm}{1cm}{1cm}{1cm}
% 1 est la marge gauche
% 2 est la marge en haut
% 3 est la marge droite
% 4 est la marge en bas
% 5 fixe la hauteur de l'entête
% 6 fixe la distance entre l'entête et le texte
% 7 fixe la hauteur du pied de page
% 8 fixe la distance entre le texte et le pied de page

\setlength{\parindent}{0pt}%%% règle l'indentation en début de paragraphe 
\setlength{\parskip}{3pt}%%% espacement entre 2 paragraphes

%%%  Commandes perso FH

%%% Pour intégrale, somme et produit, etc.
\newcommand{\ds}{\displaystyle}%%% raccourci pour \displaystyle

%%% ensembles de nombres
%%% On réservera le style "double barre" à l'écriture au tableau
\newcommand{\N}{\textbf{N}}
\newcommand{\Z}{\textbf{Z}}
\newcommand{\D}{\textbf{D}}
\newcommand{\Q}{\textbf{Q}}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\K}{\textbf{K}}

%%% différents repères
\newcommand{\Oij}{(\text{O}\,;\,\vec{\imath}\,,\,\vec{\jmath})}
\newcommand{\rep}{(\text{O},\text{I},\text{J})}
\newcommand{\Ouv}{(\text{O}\,;\,\vec{u}\,,\,\vec{v})}
%\newcommand{\Oijk}{(\text{O}\,;\,\vec{\imath}\,,\,\vec{\jmath}\,,\,\vec{k})}

%%%  Courbe représentative
%\newcommand{\Cr}[1]{\mathscr{C}_{#1}}

%%% crochets gauche et droit
\newcommand{\cg}{\texttt{]}}
\newcommand{\cd}{\texttt{[}}

%%% crochet d'entiers
\newcommand{\cde}{\texttt{[}\!\!\texttt{[}}
\newcommand{\cge}{\texttt{]}\!\!\texttt{]}}

%%% inférieur ou égal, supérieur ou égal
\newcommand{\pg}{\geqslant}
\newcommand{\pp}{\leqslant}

\usepackage{fancyhdr}%%%       En-têtes et pieds de pages
\pagestyle{fancy}
\renewcommand\headrulewidth{1pt}%%% filet haut de page
\renewcommand\footrulewidth{0pt}%%% filet bas de page
\renewcommand{\headwidth}{\textwidth}
%%% head pour haut de page
%%% L C et R pour Left Center et Right
\fancyhead[L]{\url{http://latexetmath.canalblog.com}}
\fancyhead[R]{\today} %%% \today = date du jour
\fancyhead[C]{}
%%% foot pour pied de page
\fancyfoot[C]{\begin{small}-- \thepage\  --\end{small}}  
\fancyfoot[R]{}%%%     {\jobname}%%% nom du fichier tex
\fancyfoot[L]{\href{mailto:francois.hache@free.fr}{FH}}

%%% Pour les énumérations
%%% premier niveau 
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
%%% deuxième niveau
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
%%% troisième niveau
\renewcommand{\theenumiii}{\textbf{\arabic{enumiii}}}
\renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\theenumiii)}}
%%% permet d'avoir a. au lieu de (a) dans une énumération de niveau 2
%%% voir : http://cahiers.gutenberg.eu.org/cg-bin/article/CG_1994___17_32_0.pdf

\newenvironment{changemargin}[2]
{\begin{list}{}{%
\setlength{\topsep}{0pt}%
\setlength{\leftmargin}{0pt}%
\setlength{\rightmargin}{0pt}%
\setlength{\listparindent}{\parindent}%
\setlength{\itemindent}{\parindent}%
\setlength{\parsep}{0pt plus 1pt}%
\addtolength{\leftmargin}{#1}%
\addtolength{\rightmargin}{#2}%
}\item }{\end{list}}
%%%% pour changer les marges gauche et droite sur un paragraphe
%%%% \begin{changemargin}{marge gauche}{marge droite}
%%%% ...
%%%% \end{changemargin}

\usepackage{hyperref}%%% pour les références

%%% paramètres des pdf
\hypersetup{
pdfauthor = {F. Hache},
pdftitle = {Fonctions},
pdfstartview = FitH,
pdfcreator = {LaTeX vers PDF}
allbordercolors = white,
colorlinks=true,
linkcolor=red,
urlcolor=red,
unicode=true}

%%% Autres commandes qui doivent être définies après hyperref
\newcommand{\e}{\,\text{e\,}}%%%               le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d}%%%              le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}%%%           le i des complexes
\renewcommand{\v}[1]{\,\overrightarrow{\,\text{#1}\,}}%%% vecteur
\renewcommand{\C}{\textbf{C}}

%%% définitions de nouvelles couleurs
\newrgbcolor{rb}{0.804 0 0}
\newrgbcolor{vb}{0 0.545 0}

%\usepackage{listings}

\begin{document}

\part*{\centering\rb Loi géométrique}

La loi géométrique, nouvelle venue dans l'option complémentaire de mathématiques en terminale, est ici le prétexte à la réutilisation de quelques  outils \LaTeX.

\section{Rappels mathématiques}

Dans une répétition d'épreuves de Bernoulli de paramètre $p$ (probabilité du \og succès \fg{})  identiques et indépendantes, on définit la variable aléatoire $X$ qui donne le rang du premier succès.

On dit alors que la variable aléatoire $X$ suit la \textbf{loi géométrique} de paramètre $p$ notée $\mathscr{G}_p$.

On démontre que, pour tout entier  $k\geqslant1$, on a $P(X=k) = \left (1-p\right )^{k-1} p$.

\textbf{Exemple}

On lance un dé bien équilibré et on s'intéresse à la sortie du 6. \\
La variable aléatoire $X$ qui donne le rang de la première sortie du 6 suit la loi géométrique de paramètre $\dfrac{1}{6}$.

On peut dire aussi que la variable aléatoire $X$ est le nombre de fois qu'il faut lancer le dé pour obtenir un 6.

\section{Arbre pondéré}

On peut représenter une loi géométrique par un arbre pondéré, forcément incomplet.\\
On note $S$  le succès qui est de probabilité $p$.

\begin{center}
\bigskip
\def\tpt{\footnotesize\blue}
\pstree[treemode=R,nodesep=4pt,levelsep=2.5cm,nrot=:U]{\TR{}}
{
 	\TR{$S$}\naput{\tpt$p$}
 	\pstree{\TR{$\overline{S}$}\nbput{\tpt$1-p$}}
 	{
	\TR{$S$}\naput{\tpt$p$}
	\pstree{\TR{$\overline{S}$}\nbput{\tpt$1-p$}}
 	  		{
 		  	\TR{$S$}\naput{\tpt$p$}
          	\pstree{\TR{$\overline{S}$}\nbput{\tpt$1-p$}}
 	  				{
 		  			\TR{$S$}\naput{\tpt$p$}
					\TR{$\overline{S}$}~{\boldmath{$\cdots$}} \nbput{\tpt$1-p$} 
     				}
     		}
     }
}
\bigskip
\end{center}

\begin{list}{\textbullet}{Côté \LaTeX}
\item Pas de souci particulier pour tracer cet arbre.

Dans le document source, les sous-arbres sont bien indentés pour qu'on les reconnaisse.

\item Les étiquettes sont écrites avec \verb!\naput! (pour \texttt{above}, dessus) et \verb!\nbput! (pour \texttt{below}, dessous), ce qui permet d'utiliser l'option de rotation \texttt{nrot=:U}.
\item C'est  \verb!\TR{$\overline{S}$}~{\boldmath{$\cdots$}}! qui permet d'afficher des points de suspension placés derrière le dernier $\overline{S}$.
\item L'instruction \verb!\boldmath! permet d'écrire une formule mathématique en gras. 

Cette instruction doit être appelée avant d'entrer en mode mathématique; ainsi \\
\verb!\boldmath{$f(x)$}! donne \boldmath{$f(x)$}.

On obtient encore $\boldsymbol{f(x)}$ (en gras) en tapant \verb!$\boldsymbol{f(x)}$!, l'instruction \verb!\boldsymbol! devant être tapée en mode mathématique.

\item La documentation officielle sur les arbres se trouve dans le document
\href{https://ctan.gutenberg-asso.fr/graphics/pstricks/contrib/pst-tree/doc/pst-tree-doc.pdf}{pst-tree-doc}.
\end{list}

\section{Représentation graphique}

Concernant l'exemple du dé, on représente $P(X=k)$ pour $k$ variant entre 1 et 20.

La probabilité du succès est:  $p=\dfrac{1}{6}\approx 0,1667$.

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm, yunit=20cm,comma,algebraic}
\def\xmin {-1}   \def\xmax {21}
\def\ymin {-0.02}   \def\ymax {0.21}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[yunit=1cm,xunit=0.5cm,gridlabels=0,subgriddiv=1,gridcolor=lightgray](0,0)(\xmax,4)
\psaxes[arrowsize=3pt 2, ticksize=-2pt 2pt,Dx=1,Dy=0.05,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(\xmax,\ymax) 
%%% on définit la probabilité du succès
\def\pb{0.1667} 
%%% on définit la fonction P(X=x)
\def\f{(1-\pb)^(x-1)*\pb}
\psplot[plotpoints=20,plotstyle=dots,linecolor=red]{1}{20}{\f}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{list}{\textbullet}{Côté \LaTeX}
\item La probabilité $p$ est définie par \verb!\pb! dans le \texttt{pspicture}, ce qui oblige à définir la fonction en mode algébrique:

\hfill\verb!\def\f{(1-\pb)^(x-1)*\pb}!\hfill{}

\item Il faut donc entrer l'option \texttt{algebraic=true} dans le \verb!\psset! du graphique.

\item De 1 à 20, il y a 20 points donc on entre: \verb!plotpoints=20!.

\item On définit le mode de tracé point par point en entrant: \verb!plotstyle=dots!.

\item Ci-dessous, deux autres possibilités pour \texttt{plotstyle}:
\begin{list}{$\circ$}{}
\item \texttt{plotstyle=bar}, avec quelques options de remplissage.

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm, yunit=20cm,comma,algebraic}
\def\xmin {-1}   \def\xmax {21}
\def\ymin {-0.02}   \def\ymax {0.21}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[yunit=1cm,xunit=0.5cm,gridlabels=0,subgriddiv=1,gridcolor=lightgray](0,0)(\xmax,4)
\psaxes[arrowsize=3pt 2, ticksize=-2pt 2pt,Dx=1,Dy=0.05,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(\xmax,\ymax) 
\def\pb{0.1667} 
%%% on définit la fonction P(X=x)
\def\f{(1-\pb)^(x-1)*\pb}
%\psplot[plotpoints=20,plotstyle=LineToXAxis,linecolor=red]{1}{20}{\f}
\psplot[plotpoints=20,plotstyle=bar,fillcolor=red,fillstyle=solid]{1}{20}{\f}
\end{pspicture}
\end{center}


\item \texttt{plotstyle=LineToXAxis}, option que j'ai trouvée dans l'indispensable
\href{https://mirrors.ircam.fr/pub/CTAN/info/visualpstricks/VisuelPSTricks.pdf}{Visuel PSTricks}
de \textsc{J-P Casteleyn} (et nulle part ailleurs!).

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm, yunit=20cm,comma,algebraic}
\def\xmin {-1}   \def\xmax {21}
\def\ymin {-0.02}   \def\ymax {0.21}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[yunit=1cm,xunit=0.5cm,gridlabels=0,subgriddiv=1,gridcolor=lightgray](0,0)(\xmax,4)
\psaxes[arrowsize=3pt 2, ticksize=-2pt 2pt,Dx=1,Dy=0.05,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(\xmax,\ymax) 
\def\pb{0.1667} 
%%% on définit la fonction P(X=x)
\def\f{(1-\pb)^(x-1)*\pb}
\psplot[plotpoints=20,plotstyle=LineToXAxis,linecolor=red]{1}{20}{\f}
%\psplot[plotpoints=20,plotstyle=bar,fillcolor=red,fillstyle=solid]{1}{20}{\f}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{list}
\end{list}

\section{Fonction de répartition}

 On peut démontrer que la fonction de répartition est définie par $P(X\leqslant k) = 1 - \left (1-p\right )^{k}$.

Concernant l'exemple du dé, on représente $P(X \leqslant k)$ pour $k$ variant entre 1 et 30.


\begin{center}
\psset{xunit=0.4cm, yunit=7.5cm,comma}
\def\xmin {-1}   \def\xmax {31}
\def\ymin {-0.05}   \def\ymax {1.05}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[yunit=0.75cm,xunit=0.4cm,gridlabels=0,subgriddiv=1,gridcolor=lightgray](0,0)(\xmax,10)
\psaxes[arrowsize=3pt 2, ticksize=-2pt 2pt,Dx=1,Dy=0.1,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(\xmax,\ymax) 
%%% p = 0,1667 et 1-p = 0,8333
\def\f{1 0.8333 x exp sub}
\psplot[plotpoints=30,plotstyle=dots]{1}{30}{\f}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

À vous de construire un joli chapitre sur la loi géométrique.

\end{document}
